Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina[1] - stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnia wartość x, dla której sin(x) = 0.
Liczba π z dokładnością 100 miejsc po przecinku:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...
Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).
Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π
Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π
Niewymierność i przestępność liczby π [edytuj]
Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.
To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła.
Dowód niewymierności π [edytuj]
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.
Zakładamy, że \,{\pi} = \frac{p}{q} gdzie \,{{p,q}\in \mathbb{Z}, {q}\neq{0}}.
Ustalamy ciąg c_n = \frac{q^n}{n!}\int\limits_{0}^{\ \pi}{(x({\pi}-x))^{n}\sin{(x)}dx}
Można wykazać, że:
1. \quad \lim_{{n}\rightarrow{\infty}} c_n=0
2. \quad \forall_{n \in N} \; c_n>0
3. \quad \forall_{n \in N} \; {c_n}\in \mathbb{Z}
Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie \,{\pi} = \frac{p}{q} prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.
Często występujące przekształcenia π [edytuj]
\pi^{2}= 9{,}8696044010893586188344909998762...\quad
\pi^{3}= 31{,}006276680299820175476315067101...\quad
\sqrt{\pi}=1{,}7724538509055160272981674833411...\quad
Najpopularniejsze aproksymacje wartości π [edytuj]
Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo 355/113 (ten ostatni ułamek jest równy π z dokładnością 6 miejsc po przecinku).
Historia obliczeń wartości π [edytuj]
Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa
Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa
Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.
Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.
Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością \frac {4^4}{3^4} = 3{,}1604\cdots .
Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.
W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:
Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.
Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie \! \pi =3.
Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału ,w jakim mieści się liczba π: \! \pi \in ( 3 \frac {10}{71} ;3 \frac {1}{7}).
Liu Hui, chiński matematyk , żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.
Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - \pi \approx \frac{22}{7}, oraz późniejsze, wynoszące \frac {355}{113}, które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π. Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.
Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około roku 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - \sqrt{10} \approx 3{,}162\cdots , stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio \sqrt{9{,}56} , \sqrt{9{,}81} ,\sqrt{9{,}86}, \sqrt{9{,}87}. W rzeczywistości \! \pi ^2 \approx 9{,}8696
W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie.
Ludolph van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o 262 bokach!) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.
Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615×1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.
Wzory do obliczania liczby π [edytuj]
* Powierzchnia koła jednostkowego:
2\cdot\int\limits_{-1}^{\ 1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi
* Obwód okręgu jednostkowego:
\int\limits_{-1}^{\ 1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi
* François Viète, 1593:
\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots = \frac2\pi
* Leibniz:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
* Wallis:
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w Szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751).
Szybkozbieżnych formuł postaci :\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n} pojawiło się więcej, m.in:
* K. Takano (1982):
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
* F. C. W. Störmer (1896):
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
Inne metody:
* Newton:
\frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)
* Ramanujan:
\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}
* David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:
\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}
* Bailey-Borwein-Plouffe Bailey web page (1997)
\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right) = \pi
Kultura π [edytuj]
Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). Dla numerologów jest ona symbolem idealnej harmonii.
Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.
Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:
Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)
Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'.
Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!
Jaś o kole z wyrwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy już wiesz, skąd zmiana ta wynika ?
Inne przykłady:
Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.
Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:
Raz w maju, w drugą niedzielę
Pi liczył cyfry pan Felek.
Pomnożył, wysumował,
Cyferki zanotował,
Ale ma ich niewiele...
Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero):
Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.
Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach zawierających mechanikę kwantową!
Popularny jest także następujący wierszyk:
How I wish I could recollect Pi easily today!
Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!
Popularny jest również polski wierszyk:
Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył
Istnieją również żarty na temat tej liczby:
Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?
Elementem poruszającym się po torze jest koło.
A obręcz koła to nic innego jak okrąg.
Należy przeanalizować wzór na długość okręgu:
O = 2\! \pi r. 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem.
I ten hak stuka!
Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela-"Życie Pi".
Znak π [edytuj]
William Jones
William Jones
Leonhard Euler
Leonhard Euler
Znak π jest oznaczeniem matematycznym wywodzącym się z litery alfabetu greckiego powszechnie używanym do oznaczenia liczby, której wartością jest stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy.
Jej pierwszego utożsamienia z wartością 3{,}14159 \cdots dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 roku, w dziele Analiza, chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwódu, którego grecka nazwa to περιμετρον.
W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze:
Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [etc., to 128 places], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit π = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.
Prawdopodnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina.
Porzucone oznaczenia [edytuj]
* Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla Π. Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.
* W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π.
Niektóre wzory zawierające \! \pi [edytuj]
Geometria [edytuj]
* Obwód okręgu o promieniu r: 2\pi r\quad
* Pole elipsy o półosiach równych a i b: S=ab\pi\quad
* Objętość n wymiarowej kuli o promieniu r: V_n=\frac {\pi^\frac{n} {2} \ } {\Gamma(\frac{n} {2}\ +1)}\ r^{n}
* Powierzchnia kuli o promieniu r: 4\pi r^{2}\quad
* Miara łukowa kąta półpełnego równa jest π radianów
* Objętość walca : V = πr2H
Analiza matematyczna [edytuj]
* \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
* \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}
* \int\limits_{-\infty}^{\ \infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} (rozkład normalny)
* n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (wzór Stirlinga)
* e^{\pi i} + 1 = 0\; (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki)
* \pi = 4 \int\limits_{0}^{\ 1} \frac{1}{1+x^2};
Teoria liczb [edytuj]
* Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi \frac{6}{\pi^{2}}.
* Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi \frac{\pi}{4}.
W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np: rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb {1, 2, 3,…, N} a następnie obliczamy granicę przy N dążącym do nieskończoności.
:-)
o zabie juz mi sie nie chce pisac.
za yedoo. Z małymi poprawkami.
ło jezzzu YEDOO! coz za wypowiedz... ;))
Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina[1] - stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnia wartość x, dla której sin(x) = 0. Liczba π z dokładnością 100 miejsc po przecinku: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ... Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π). Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π Niewymierność i przestępność liczby π [edytuj] Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków. To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła. Dowód niewymierności π [edytuj] Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zakładamy, że \,{\pi} = \frac{p}{q} gdzie \,{{p,q}\in \mathbb{Z}, {q}\neq{0}}. Ustalamy ciąg c_n = \frac{q^n}{n!}\int\limits_{0}^{\ \pi}{(x({\pi}-x))^{n}\sin{(x)}dx} Można wykazać, że: 1. \quad \lim_{{n}\rightarrow{\infty}} c_n=0 2. \quad \forall_{n \in N} \; c_n>0 3. \quad \forall_{n \in N} \; {c_n}\in \mathbb{Z} Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie \,{\pi} = \frac{p}{q} prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0. Często występujące przekształcenia π [edytuj] \pi^{2}= 9{,}8696044010893586188344909998762...\quad \pi^{3}= 31{,}006276680299820175476315067101...\quad \sqrt{\pi}=1{,}7724538509055160272981674833411...\quad Najpopularniejsze aproksymacje wartości π [edytuj] Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo 355/113 (ten ostatni ułamek jest równy π z dokładnością 6 miejsc po przecinku). Historia obliczeń wartości π [edytuj] Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3. Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125. Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością \frac {4^4}{3^4} = 3{,}1604\cdots . Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości. W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa: Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci. Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie \! \pi =3. Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału ,w jakim mieści się liczba π: \! \pi \in ( 3 \frac {10}{71} ;3 \frac {1}{7}). Liu Hui, chiński matematyk , żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415. Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - \pi \approx \frac{22}{7}, oraz późniejsze, wynoszące \frac {355}{113}, które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π. Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac. Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około roku 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - \sqrt{10} \approx 3{,}162\cdots , stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio \sqrt{9{,}56} , \sqrt{9{,}81} ,\sqrt{9{,}86}, \sqrt{9{,}87}. W rzeczywistości \! \pi ^2 \approx 9{,}8696 W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie. Ludolph van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o 262 bokach!) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej. Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615×1011 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000. Wzory do obliczania liczby π [edytuj] * Powierzchnia koła jednostkowego: 2\cdot\int\limits_{-1}^{\ 1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi * Obwód okręgu jednostkowego: \int\limits_{-1}^{\ 1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi * François Viète, 1593: \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots = \frac2\pi * Leibniz: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} * Wallis: \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości: \frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w Szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751). Szybkozbieżnych formuł postaci :\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n} pojawiło się więcej, m.in: * K. Takano (1982): \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} * F. C. W. Störmer (1896): \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} Inne metody: * Newton: \frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right) * Ramanujan: \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} * David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky: \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} * Bailey-Borwein-Plouffe Bailey web page (1997) \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right) = \pi Kultura π [edytuj] Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). Dla numerologów jest ona symbolem idealnej harmonii. Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem: Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt. Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego) Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'. Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu! Jaś o kole z wyrwą dyskutuje bo dobrze temat ten czuje zastąpił ludolfinę słowami wierszyka czy już wiesz, skąd zmiana ta wynika ? Inne przykłady: Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła. Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta: Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował, Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele... Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero): Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami. Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach zawierających mechanikę kwantową! Popularny jest także następujący wierszyk: How I wish I could recollect Pi easily today! Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi! Popularny jest również polski wierszyk: Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył Istnieją również żarty na temat tej liczby: Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka? Elementem poruszającym się po torze jest koło. A obręcz koła to nic innego jak okrąg. Należy przeanalizować wzór na długość okręgu: O = 2\! \pi r. 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem. I ten hak stuka! Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela-"Życie Pi". Znak π [edytuj] William Jones William Jones Leonhard Euler Leonhard Euler Znak π jest oznaczeniem matematycznym wywodzącym się z litery alfabetu greckiego powszechnie używanym do oznaczenia liczby, której wartością jest stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy. Jej pierwszego utożsamienia z wartością 3{,}14159 \cdots dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 roku, w dziele Analiza, chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwódu, którego grecka nazwa to περιμετρον. W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze: Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [etc., to 128 places], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit π = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum. Prawdopodnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina. Porzucone oznaczenia [edytuj] * Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla Π. Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738. * W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π. Niektóre wzory zawierające \! \pi [edytuj] Geometria [edytuj] * Obwód okręgu o promieniu r: 2\pi r\quad * Pole elipsy o półosiach równych a i b: S=ab\pi\quad * Objętość n wymiarowej kuli o promieniu r: V_n=\frac {\pi^\frac{n} {2} \ } {\Gamma(\frac{n} {2}\ +1)}\ r^{n} * Powierzchnia kuli o promieniu r: 4\pi r^{2}\quad * Miara łukowa kąta półpełnego równa jest π radianów * Objętość walca : V = πr2H Analiza matematyczna [edytuj] * \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler) * \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} * \int\limits_{-\infty}^{\ \infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} (rozkład normalny) * n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (wzór Stirlinga) * e^{\pi i} + 1 = 0\; (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki) * \pi = 4 \int\limits_{0}^{\ 1} \frac{1}{1+x^2}; Teoria liczb [edytuj] * Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi \frac{6}{\pi^{2}}. * Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi \frac{\pi}{4}. W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np: rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb {1, 2, 3,…, N} a następnie obliczamy granicę przy N dążącym do nieskończoności.
wesołe. Ale to znany numer na europejskich portalach.
pi razy nic
ała.
nie trafia w moj gust. don't like it